Formes normales - exemples et exercices

Mettre les formules suivantes sous forme normale (FN), forme normale disjonctive (FND), forme normale conjonctive (FNC).
  1. (¬ p ∨ q ∨ r) ⇒ r
  2. p ⇔ q
  3. p ⇒ ((¬ q ∨ r) ⇒ s)
  4. ¬(p ∨ ¬ q) ∧ (q ⇒ p)
  5. (p ⇔ q) ∧ (¬ (p ⇒ q) ∨ ¬(q ⇒p))
Solutions des deux premiers exercices : 
  1. FN : éliminer =>
      (-p v q v r) => r
      ≈
      -(-p v q v r) v r  
      ≈
      (p ^ -q ^ -r) v r

FND : idem FN, car ici FN est déjà une disjonction de conjonctions
      (p ^ -q ^ -r) v r 
      donc 2 modèles principaux 

FNC : partir de la FN et faire remonter les conjonctions 
      par distributivité du v sur le ^ 
      (p ^ -q ^ -r) v r
      ≈
      (p v r) ^ (-q v r) ^ (-r v r)
      ≈
      (p v r) ^ (-q v r) 
      donc 2 contre-modèles principaux

  2. FN : éliminer <=> puis éliminer =>
      p <=> q
      ≈
      (p => q) ^ (q => p)
      ≈ 
      (-p v q) ^ (-q v p)

FNC : idem FN, car ici FN est déjà une conjonction de disjonctions
      (-p v q) ^ (-q v p)
      donc 2 contre modèles
      
FND : partir de la FN et faire remonter les disjonctions 
      par distributivité du ^ sur le v 
      (-p v q) ^ (-q v p)
      ≈
      [(-p v q) ^ -q] v [(-p v q) ^ p]
      ≈
      [(-p ^ -q) v (q ^ -q)] v [(-p ^ p) v (q ^ p)]
      ≈
      [(-p ^ -q)] v [(q ^ p)]
      ≈
      (-p ^ -q) v (q ^ p)
      donc 2 modèles